Download Analysis 3: Integralrechnung im IRn mit Anwendungen by Otto Forster PDF

By Otto Forster

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IR^n mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik appropriate sind. Der textual content wurde für die 6. Auflage grundlegend überarbeitet und die Integrationstheorie wird nun auf maßtheoretischer Grundlage aufgebaut.

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Hilfssatz 2. Sei fj: JRn ~ JR U Cool, iEI, eine Familie von unten halbstetiger Funktionen Dann ist auch ihre obere Einhüllende f : = sup /; von unten halbstetig. jE/ Beweis. Sei x E JRn und c E JR mit f(x) > c. Da f(x) =sup fj (x), gibt es ein k E I mit j fk (x) > c. h. d. Satz 2. Eine Funktion f: JRn ~ JR U {oo} gehört genau dann zu Jrt (Rn), wenn folgende beiden Bedingungen erftillt sind: a) f ist von unten halb stetig. b) Es gibt eine kompakte Teilmenge- KeRn, f(x) ~ 0 für alle xE Rn\K. SO daß § 4.

Sei A eine Teilmenge des JRn. t(x):= { I 0 für für xEA, xEJRn\A. Aus den Definitionen ergibt sich unmittelbar: Die Funktion XA: Rn ~ JR ist genau dann von unten (oben) halb stetig, falls A offen (bzw. abgeschlossen) ist. } definiert durch f(x) := sup {fj(x): i EI} fiir alle xE JRn. Die obere Einhüllende von zwei (und damit endlich vielen) stetigen Funktionen /;: JRn ~ lR ist wieder stetig. B. 1 (fl + f2 + Ifl - f2 1). Dagegen ist die obere Einhüllende einer unendlichen Familie von stetigen Funktionen im allgemeinen nicht mehr stetig, sondern nur mehr halb stetig von unten.

2. Zu jedem (x, y) E IR? \(0,0) gibt es ein a, so daß (x, y) E IR? \ Sa. p hängt von der Wahl von a ab, er ist nur bis auf ein Vielfaches von 2rr bestimmt. Für die Funktionalmatrix der Transformation gilt . p = . p2 . p, (m E 7l), gegeben wird. p A... p = 0, also u harmonisch. Bemerkung. 6) Räumliche Polarkoordinaten Für festes a E IR sei Ha die Halbebene H a := {(rcosa,rsina',z): rEIR+,zEIR} CIR3 . Wir setzen 33 § 3. : r> 0,0< (} < 7r, 0: < IP < 27r + o:}. Die Abbildung <1>: n' -+ n ( :) ~ (:) = (::::: ~:s:) IP r cos (} \z ist ~l-invertierbar.

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