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By Otto Forster

Dieses seit vier Jahrzehnten bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am machine nachvollzogen werden können. Die vorliegende 12. Auflage wurde in mehreren info verbessert und enthält einige zusätzliche Aufgaben und Beispiele.

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Analysis I

Dieses Lehrbuch ist der erste Band einer dreiteiligen Einf? hrung in die research. Es ist durch einen modernen und klaren Aufbau gepr? gt, der versucht den Blick auf das Wesentliche zu richten. Anders als in den ? blichen Lehrb? chern wird keine okay? nstliche Trennung zwischen der Theorie einer Variablen und derjenigen mehrerer Ver?

Itô’s Stochastic Calculus and Probability Theory

Professor Kiyosi Ito is celebrated because the author of the fashionable thought of stochastic research. even supposing Ito first proposed his thought, referred to now as Ito's stochastic research or Ito's stochastic calculus, approximately fifty years in the past, its worth in either natural and utilized arithmetic is turning into higher and bigger.

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Example text

Im Gegensatz dazu sind die Verh¨altnisse bei Produkten konvergenter Reihen viel komplizierter. Wir werden uns damit in §8 besch¨aftigen. 11) Unendliche Dezimalbr¨uche sind spezielle Reihen. 08636363, ¨ wobei die Uberstreichung von 63 andeuten soll, dass sich diese Zifferngruppe unendlich oft wiederholt. Dies bedeutet, dass x den folgenden Wert hat: x= ∞ 8 63 63 63 8 + 4 + 6 +... = + ∑ 4+2k . 100 10 10 100 k=0 10 Nach den S¨atzen 6 und 7 ist ∞ 63 7 63 ∞ 63 1 63 ∑ 104+2k = 104 ∑ (10−2)k = 104 · 1 − 10−2 = 9900 = 1100 , k=0 k=0 also x= 8 7 95 19 + = = .

Es gen¨ugt, den Satz f¨ur reelle Zahlen x 0 zu beweisen. Nach §3, Satz 3, gibt es mindestens eine nat¨urliche Zahl m mit x < bm+1 . Sei k die kleinste § 5 Das Vollst¨andigkeits-Axiom 54 nat¨urliche Zahl, so dass 0 x < bk+1 . Wir konstruieren jetzt durch vollst¨andige Induktion eine Folge (aν )ν licher Zahlen 0 aν < b, so dass f¨ur alle n −k gilt x= n ∑ ν=−k aν b−ν + ξn −k nat¨ur- ξn < b−n . mit 0 −ν Wegen limn→∞ ξn = 0 folgt dann x = ∑∞ ν=−k aν b , also die Behauptung. Induktionsanfang n = −k. Es gilt 0 xb−k < b, also gibt es eine ganze Zahl a−k ∈ {0, 1, .

Es gen¨ugt, einen nicht-negativen b-adischen Bruch ∑∞ n=−k an b betrachten. F¨ur n −k bezeichnen wir die Partialsummen mit xn := n ∑ ν=−k aν b−ν . Wir haben zu zeigen, dass (xn )n −k eine Cauchy-Folge ist. Sei ε > 0 vorgegeben und N ∈ N so groß, dass b−N < ε. Dann gilt f¨ur n m N |xn − xm | = n ∑ ν=m+1 n ∑ aν b−ν (b − 1)b−m−1 ν=m+1 n−m−1 ∑ (b − 1)b−ν b−ν ν=0 1 = b−m 1 − b−1 Damit ist die Behauptung bewiesen. < (b − 1)b−m−1 b−N < ε . Von Satz 4 gilt auch die Umkehrung. Satz 5. Sei b eine nat¨urliche Zahl b-adischen Bruch entwickeln.

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