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By Georges Bohnke (auth.), Pierre Eymard, Reiji Takahashi, Jacques Faraut, Gérard Schiffmann (eds.)

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4. D e s c r i p t i o n d u dual de h_C~h• _-- la r e p r e s e n t a - 6 9 Elle opere ~ans un ~C " II existe un isomorphisme unique (pour l a structure c o m p l e x e de la s h• nous n o t e r o n s d6 m~m ~ . g . X E ~ 9 Nous sous-algebre de _-- de poids dominant ~ . Nous n o t e r o n s encore sentation de d i m e n s i o n s de d'un c a r a c t e r e de 6 ~ P+ . 3 D e s c r i p t i o n de X ~ (X , ~) K ~6P des v e c t e u r s de poids morphe est la d i s 1 6 3 ce cas nous noterons ce caractere tion u n i t a i r e irr~ductible de s ~ = tel que .

Y = X X~, X_~, H , et , ~ = sl(2,C) . On a ; on pose le sous-groupe _~ la sous-algebre analytique II existe un unique homomorphisme j~ : SL(2,C)-~Gff dis163 envoie sur K~ = G~NK mi= sur X c( , Y sur X -cf est l'image d u groupe unitaire, w 6W raft. , e t c . . 1 Si ~ = 0:i ,H et H c~ j~(m) = m f f est une racine simple, est m . correspondant. X ~ : ~(H) = I , par ~ E A . On note G~ . La c o n - unitaires. est repr~sent~ Soit ~ H . L a racine positive est le groupe des matrices W X-q habituelle par , X = X = G .

C m . On a : m m r x(X)~# (k) = E I cj(k) ~t '~k(kexp--tXj)It:o = El cj(k)('~x*Xj)(k) Soit (%0i)iEJ qui complete la base de l~k* Xj = ( k + D ) ( X j ) ~ si une base de l'espace des fonctions K - f i n i e s L(~) choisie plus haut. On a " sur K * ~ w x . = 0 si X. ~ n , J J Xj E a . D'autre par, la restriction de ~ * Xj 42 K Pi ne d@pend pas de sur air =h nulles r %(X)~ = Pi = 0 si k . On a donc prouv~ l'existence saus pour un nombre 9ini d'indices ~ pi(%)~i iEJ i~I . Comme u E U de plus u un ~l~ment est (uv) ~ = v ~ u ~ est dans iEJ aPs , telles que l'on L(~) , on a .

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