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By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel. On y présente d'abord quatorze axiomes résumant toutes les propriétés des nombres réels que l'on prend pour acquises. À partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par l. a. proposal de limite d'une suite ou d'une série numérique et son program à l. a. représentation décimale des nombres, en poursuivant avec los angeles idea de fonction proceed et l'étude de ses principales propriétés et en terminant par l. a. définition et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des fonctions convexes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il est, d'un aspect de vue purement logique, autonome mais, en fait, une familiarité avec le calcul différentiel est nécessaire pour le suivre aisément et bien en profiter.

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D. 44 Soit donc x > 0. Il existe [x] ∈ N0 tel que [x] ≤ x < [x] + 1 ; [x] est la partie enti` ere de x qui peut donc s’´ecrire sous la forme x = [x] + {x} o` u {x} ∈ [0, 1[ est sa partie fractionnaire. Si [x] = 0, soit N ∈ N0 tel que 10N ≤ [x] < 10N +1 . Alors [x] = cN 10N + r1 , cN ∈ C, cN = 0 et 0 ≤ r1 < 10N . Si r1 = 0, soit N1 ∈ N0 tel que 10N1 ≤ r1 < 10N1 +1 , alors N1 < N et [x] = cN 10N + cN1 10N1 + r2 , cN1 ∈ C, cN1 = 0 et 0 ≤ r2 < 10N1 . Si r2 = 0, soit N2 ∈ N0 tel que 10N2 ≤ r2 < 10N2 +1 , alors N2 < N1 et [x] = cN 10N + cN1 10N1 + cN2 10N2 + r3 , cN2 ∈ C, cN2 = 0 et 0 ≤ r3 < 10N2 .

Th´ eor` eme 32 L’image directe d’un intervalle par une fonction continue f : (a, b) → R est un intervalle. D´emonstration. Soient X < Z < Y o` u X = f (x) et Y = f (y) et, par exemple, x < y. Il s’agit de montrer qu’il existe (au moins) un point z entre x et y tel que Z = f (z). Consid´erons l’ensemble E = {t | x ≤ t ≤ y et f (t) ≤ Z}. (figure 6). E est non vide (x ∈ E) et est born´e sup´erieurement (par y). Posons z = sup E et montrons que f (z) = Z. Si l’on avait f (z) < Z, z ne serait pas une borne sup´erieure pour E.

Nk ∈ N tels que Pn (x) = (x − x1 )n1 (x − x2 )n2 · · · (x − xk )nk Dn−n1 −n2 −···−nk (x). 58 Ainsi, k ≤ n1 + n2 + · · · + nk ≤ n. D. Les nombres xk du th´eor`eme pr´ec´edent sont les racines de l’´equation Pn (x) = 0 ou les z´ eros du polynˆome Pn , les entiers nk sont les multiplicit´ es. On compte toujours les racines avec leur multiplicit´e. Exemple. L’´equation x2 − 3x + 1 = 0 admet deux racines simples, l’´equation 2 x − 2x + 1 = 0 admet une racine double (donc deux racines elle aussi) et l’´equation x2 − x + 1 = 0 n’admet aucune racine.

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