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Aus der Definition von no ergibt sich nun, daB n und m als Produkte endlich vieler Primzahlen dargestellt werden konnen, also auch no = n . m, was wir aber ausgeschlossen haben. Damit haben wir die Existenzaussage bewiesen. Zum Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, es gabe eine natiirliche Zahl, die zwei verschiedene Primfaktorzerlegungen besitzt. Dann sei P die kleinste solche Zahl, mit den Zerlegungen P = PoP I ... Pk = qOql ... qn' Jedes Pi ist von jedem qj verschieden, denn ein gemeinsamer Teiler beider Darstellungen wurde P teilen und eine kleinere naturliche Zahl pi mit zwei verschiedenen Darstellungen liefem, im Widerspruch zur Wahl von p.

M, was wir aber ausgeschlossen haben. Damit haben wir die Existenzaussage bewiesen. Zum Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, es gabe eine natiirliche Zahl, die zwei verschiedene Primfaktorzerlegungen besitzt. Dann sei P die kleinste solche Zahl, mit den Zerlegungen P = PoP I ... Pk = qOql ... qn' Jedes Pi ist von jedem qj verschieden, denn ein gemeinsamer Teiler beider Darstellungen wurde P teilen und eine kleinere naturliche Zahl pi mit zwei verschiedenen Darstellungen liefem, im Widerspruch zur Wahl von p.

Eine Menge, die 0 enthalt und mit jedem z auch {z}. Setzt man dann N := n{ m ; mist induktive Menge} , so zeigt es sieh, daB N selbst eine induktive Menge ist. Definiert man schlieBlieh die Abbildung v:= N -+ N durch v(n) := n U in} und setzt 0 := 0, so kann man beweisen, daB (N, 0, v) den Peano-Axiomen geniigt, also ein Modell der natiirlichen Zahlen darstellt. Es sei nun (N', 0', v') irgendein Modell der natiirlichen Zahlen. Dann liiJ3t sich im Rahmen der Mengenlehre zeigen, daB es eine Bijektion

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